1. binary types(2개 상태의 타입)
2. 설정
- 위험중립적인 기업이 품질 q의 제품을 단위 비용 c에 생산하여 가격 t에 판매
- 소비자는 2개의 타입이 존재하고 1단위의 제품만 소비하며 제품을 소비하지 않으면 효용은 없다
- 소비자의 효용
소비자 타입(prior)
⇨
소비자들의 선택
소비자들의 효용(공통)
θl(β)
ㆍ구매하지 않는다
u = 0
θh(1-β)
ㆍ구매
u(q, t) = θiㆍv(q) - t
- θ는 품질에 대한 민감도를 의미. 품질의 변화에 따른 효용 변화의 정도를 나타냄. θl < θh : L타입 고객이 H타입 고객에 비해 민감도가 낮다.
- v는 품질 q에 대한 함수. v'>0 : 품질이 높아질수록 v는 높아진다(효용이 증가한다). v''<0 : 품질의 높아질수록 v의 증가도(효용의 증가도)는 낮아진다(=한계효용체감). v(0)=0 : 품질이 0이면 v의 값은 0이다(효용은 0이다)
- 기업은 소비자의 타입 θ를 모르나, β의 확률로 θ=θl이라는 prior를 가지고 있다 (소비자가 θl인 확률은 β, 소비자가 θh인 확률은 1-β)
3. First-best case: 기업이 소비자의 θ를 알 때
- 목적함수(기업의 수익) :
- 제약조건(소비자의 효용) :
- FOC에 의한 해답은 (ti*, qi*). θiㆍv'(qi*) = c, ti* = θiㆍv(qi*)
- 소비자에게는 surplus가 발생하지 않고, 기업이 모든 surplus를 가져간다
기업은
h타입 소비자에게는 qh 품질의 제품을 th 가격에 판매하고 : θh ← (qh, th)
l타입 소비자에게는 ql 품질의 제품을 tl 가격에 판매한다 : θl ← (ql, tl)
4. 기업이 θ를 모를 때
- revelation principal(= truth telling mechanism)을 이용하여 문제를 풀이
- revelation principal에 따라 계약의 메뉴(menu of contracts)에 초점을 맞춘다θi 타입인 소비자가 최적의 (ti, qi)를 찾을 때, (tl, ql)과 (th, qh)에 초점을 맞춘다
- 목적함수(기업의 수익) :
- 제약조건(소비자의 효용) :
① (ICH) 사실을 말할 때 효용 ≥ 거짓말할 때 효용② (ICL) ③ (IRH) ④ (IRL)
* IC : Incentive Compatibility Constraints IR : Individual Rationality Constraints<제약조건이 참이 되는 이유(직관적인 설명)>
① h타입 소비자는 품질 q에 대한 민감도 θ가 높기 때문에, 사실대로 말함으로써 높은 품질에 대한 만족감 θhㆍv(qh)을 누리면서 높은 가격 th을 지불하는 경우의 효용이, 거짓말을 함으로써 낮은 품질로 인해 급격히 떨어진 만족감 θhㆍv(qㅣ)에 낮은 가격 tl을 지불하는 경우의 효용보다 높다. (h타입 소비자는 품질에 대한 민감도가 높기 때문에 거짓말을 하여 상대적으로 낮은 가격을 지불함으로써 증가하는 효용보다 품질 감소에 따른 만족도 하락으로 감소하는 효용이 더 크다)② l타입 소비자는 품질 q에 대한 민감도 θ가 낮기 때문에, 사실대로 말함으로써 낮은 품질에 대한 만족감에서 낮은 가격을 차감한 효용이, 거짓말을 함으로써 높은 품질로 그다지 높아지지 않은 만족감에 높은 가격을 차감한 효용보다 높다. (l타입 소비자는 품질에 대한 민감도가 낮기 때문에 거짓말을 하여 품질 상승에 따른 만족도 상승으로 증가하는 효용보다 높은 가격 지불에 따라 감소하는 효용이 더 크다)③④ 제품 소비로 발생하는 효용은 0보다 커야 한다
- ①④가 성립하는 경우 ③은 당연히 성립하므로 부등호로 성립(slack)
- ①은 부등호가 성립하는 경우 기업이 가격 th를 높임으로써 수익을 증대할 수 있으므로, ①은 등호로 성립(bind)
- ①이 등호로 성립하므로 ②는 부등호로 성립(slack)
- ④는 부동호가 성립하는 경우 기업이 가격 tl을 높임으로써 수익을 증대할 수 있으므로, ④는 등호로 성립
- 따라서, 최적화 문제(목적함수 극대화 문제)는 아래와 같이 작성
tl과 th는 없어지고, ql과 qh에 대한 극대화 문제로 변형
- 목적함수를 ql에 대한 편미분, qh에 대한 편미분이 0이 될 때 극대화
(FOC) ∂F/∂ql = 0, ∂F/∂qh = 0
* θh>θl 이므로, >0
- h타입 소비자의 품질 qh*는 l타입 소비자의 품질 ql*보다 높다 qh* > ql*
<설명>
v'(qh*) = c / θh v'(ql*) > c / θl
v'(ql*) > c / θl > c / θh = v'(qh*) ( θh > θl )
v'(ql*) > v'(qh*)
v'' > 0이므로 v'은 q가 증가함에 따라 감소하는 함수
따라서 qh* > ql*
5. 기업이 θ를 모를 때 함의
- FB인 경우와 기업이 소비자 타입 모를 경우(*), 소비자별 품질과 가격 비교
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